پسری که راه کوتاه را انتخاب کرد

پسر ها فریاد می کردند و همانطور که می دویدند در اطراف زمین بازی مدرسه می خندیدند. نزدیک آخر ترم مدرسه در آلمان بود در حدود دویست سال پیش .

بزودی مدرسه برای چند هفته تعطیل می شد و تعجبی ندارد که آنها(پسرها) احساس خوشحالی می کردند.

معلمشان از پنجره کلاس آنها را تماشا می کرد. او ابدا احساس خوشحالی نمی کرد. پایان ترم برای او، این معنی را می داد که مقدار زیادی کار باید انجام بدهد. او چه چیزی می توانست برای پسرها پیدا کند که انجام بدهند تا آنها را برای مدت طولانی ای ساکت و آرام نگه دارد؟ تا او بتواند به کارش برسد، ناگهان فکری به خاطرش رسید. وقتی که زنگ خورد برای پایان بازی ، اوداشت لبخند می زد و خوشحال بود.

یکی یکی پسرها به کلاس برگشتند و سر نیمکت ها نشستند. معلم گفت: گوش بدهید پسرها! من از شما می خواهم که مدادهایتان را بدست بگیرید و عددها را از یک تا صد بنویسید و بعد ازاینکه این کار را انجام دادید تمام آنها را جمع ببندید و صحبت نکنید و فکر کنید.

بمحض اینکه بچه ها کارشان را شروع کردند معلم لبخندی زد و گفت این باید آنها را برای مدتی مشغول کند. اما او در اشتباه بود!

پنج دقیقه بعد کند ترین (تنبل ترین) شاگرد هنوز داشت تاریخ را می نوشت و بیشتر بچه های دیگر تازه شروع کرده بودند به جمع کردن اعداد.

با وجود این یک پسر مدادش را پایین گذاشت.

معلم از او پرسید: "کاری" kari چی شده؟ نمی توانی بنویسی؟

پسر جواب داد نه آقا من تمام کرده ام! و جوابش می شود 5050 .

هیچ کس در کلاس حرف او را باور نمی کرد. چگونه می توانست یک پسر از بین ده تا این همه عدد را در این چنین مدت کوتاهی جمع کند؟

معلم به او گفت شاید بهتر باشد به ما بگویی که چگونه این عدد را بدست آورده ای؟

پسر گفت آسان بود!! قبل از همه چیر من عدد 1 و 99 را جمع بستم و شد 100 بعد من 2و 98 را جمع بستم و باز هم 100 آمد . د.باره من 3و 97 ،4و 96 را و همینطور ادامه دادم تا به 49و 51 رسیدم و هر دفعه من جواب صد را بدست می آوردم و به این ترتیب من چهل و نه تا 100 تا را بدست آوردم که می شود 4900. بعدا من دو شماره ای را که جا مانده بود جمع کردم یعنی 100و50 را و جواب 5050 را بدست آوردم. معلم نالید (فریاد کرد) و گفت بنظر می رسد که حق باپسر بود. حالا مجبور بود چیز دیگری برای آنها پیدا کند که انجام بدهند.

امروز ما اسم این معلم را فراموش کرده ایم. اما اسم پسر را که آنقدر در حساب سریع بود فراموش نکرده ایم. او اسمش –کاری گاوس – بود. ((kari gauss

                             

کاری گاوس دانشمند مشهوری شد. یکی از بزرگترین علاقمندیش علم نجوم بود(مطالعه ستارگان) قبل از مرگش در سال 1855، او 155 کتاب نوشته بود.

بازم

در این سایت به نام سايت نمادين رياضي به ارائه مطالبي درباره رياضيات و آخرين دستاوردها در اين زمينه پرداخته مي‌شود.سايت به مرکز تحقيقات رياضيات کاربردي دانشگاه ايالتي Kent اختصاص دارد. در سايت مي‌توان به اطلاعاتي درباره کاربردهاي کامپيوتر در کمک به يادگيري و نيز کمک و تسريع در محاسبات رياضي اشاره کرد.

بازم سایت

این سایت براي کمک به دانش‌آموزان جهت يادگيري هرچه بهتر رياضيات تهيه شده است. فلش کارت‌هاي رياضي، سرگرمي، بازي و رياضي، کمک براي حل تمرين‌هاي منزل، نمونه سؤالات و تمرين بازي و رياضي، پازل‌هاي رياضي، امکان Download بازي‌ها، آموزش گام‌به‌گام حل مسائل رياضي به همراه بسياري مطالب ديگر آموزشي را مي‌توان در اين سايت مشاهده نمود.

یه سایت دیگه

الوعده وفا!

این هفته دومه و من با یه سایت دیگه اومدم پیشتون امیدوارم خوشتون بیاد !!

این سایت به نام AAA Math به ارائه مطالب آموزشي درزمينه رياضيات براي گروه‌هاي مختلف سني مي‌پردازد. جمع و تفريق، مقايسه در رياضي، جبر، شمارش، اعشارها، تقسيم، معادلات، تخمين و برآوردها، توان، کسرها، هندسه، گراف‌ها، اندازه‌گيري و سنجش، حل مسائل رياضي به صورت ذهني، حسابداري، ضرب، اعداد، نمونه‌سازي و نمونه برداري آماري، درصد، ارزش داده‌ها، رياضيات کاربردي، خصوصيات، نسبت‌ها، آمار، تفريق، آموزش براي کودکان پيش دبستاني، دبستاني و ساير گروه‌هاي سني مطابق با استانداردهاي بين‌المللي، اخبار، پرسش و پاسخ، نرم‌افزارها، کتاب‌ها، منابع اطلاعات و بانک سؤالات براي معلمان، معرفي سايت‌هاي مفيد، دايرةالمعارف رياضي، مطالب کمک آموزشي براي دانش‌آموزان و آموزش در خانه را مي‌توان از عناوين مندرج در اين سايت برشمرد.

 

      

یه خبر با حال!!

از این به بعد قراره هفته ای یه سایت باحال بهتون معرفی کنم امیدوارم که خوشتون بیاد امروز هم اولیش رو بهتون معرفی می کنم

در اين سايت به معرفي فرم تخصصي رياضي به نام Drexel پرداخته مي‌شود. در سايت عناويني چون مرکز اطلاعاتي دانش‌آموزان و دانشجويان، مرکز اطلاعاتي معلمان، تحقيقات و پژوهش، همکاران مؤسسه، مسائل هفته، منابع اطلاعاتي و آموزشي رياضي، فناوري در خدمت رياضيات، پرسش و پاسخ، خبرنامه الکترونيکي، نرم‌افزارهاي رياضي، تبادل اطلاعات بين معلمان، کارگاه تمرين، کتابخانه الکترونيکي و آموزش رياضي در گروه‌هاي سني مختلف را مي‌توان مشاهده کرده و درباره هر کدام به کسب اطلاعات پرداخت.

بازی 4*4

چهار چهار نوعی بازی ریاضی است که معمولاً دانش آموزان مقاطع بالاتر تحصیلی به خاطر انجام عملیات های گسترده و ساده بر روی اعداد به انجام آن مبادرت می ورزند.
اما بسیاری از نوجوانان در سنین مختلف نیز علاقه خاصی به انجام این بازی دارند.
هدف از این بازی یافتن ساده ترین راه ریاضی برای بیان تمام اعداد از صفر تا بی نهایت، به وسیله عدد 4 است. که می بایست فقط از عملیات های معمول و ساده ریاضی استفاده کرد. اکثر نسخه های این بازی با نام 4*4 معروف است ولی در بعضی سایت ها و منابع دیگر با نام های دیگری نیز بیان شده است.

تنها تفاوت موجود در بین نسخه های دیگر این بازی، استفاده کم یا زیاد از اعمال ریاضی است.
استفاده از حداقل، 4 عمل اصلی که عبارت است از جمع (+)، تفریق (-)، ضرب (*) و یا تقسیم (÷) تقریباً در تمام نسخ این بازی مشترک است.

در برخی دیگر از نسخه های 4*4، ریشه دوم، فاکتوریل و توان قراردادی نیز محاسبه می شود. عموماً استفاده از لگاریتم در این بازی مجاز نمی باشد ولی استفاده از اعداد اعشاری بلامانع است.
همچنین در انواع دیگر این بازی به جای قراردادن عدد 4 در همه معادلات، از اعداد قراردادی دیگری مانند سال تاریخ تولد فرد منظور می شود. برای مثال به منظور استفاده از سال 1975م، می بایست ساده ترین راه برای ایجاد اعداد 1، 9، 7 و 5 ارائه شود.

مثال

در اینجا گوشه هایی از این بازی جذاب را که بین اعداد 1 تا 20 می باشد، به نمایش گذارده ایم.

0= 44 - 44	0
1= 44 ÷ 44	1
2= 4÷4 + 4÷4	2
3= 4÷ (4+4+4)	3
4= 4+ (4-4)*4	4
5= 4÷ (4+4*4)	5
6= 4*4/0 + 4/4	6
7= 4 - 4÷44	7
8= 4/4 + 4/0- 4	8
9=4÷4 + 4+4	9
10= 4/4÷44	10
11=4÷4 + 4/0÷4	11
12= 4÷ (4+44)	12
13= 4÷44 - !4	13
14=4/0-(4/0-4)*4	14
15=4 + 4÷44	15
16=(4-44)*4/0	16
17=4÷4 + 4*4	17
18= 4/0 + 4/0*44	18
19=4÷4 - 4-!4	19
20=(4+4÷4)*4	20

برای اعداد اول مانند 113 و 123 معمولاً راه حل محاسبه آن قدری مشکل است. برای حل آنها می توان راه حل های زیر را پیشنهاد داد:

برای 123 نیز راه حلی توصیه می شود اگرچه قدری مشکل به نظر می رسد:

اولین مقاله ای که درباره این فعالیت (بازی و ریاضی) منتشر شد، در مجله ریاضی، آفرینش و تحقیق بود که به وسیله رُز بال در سال 1892م به علاقه مندان عرضه شد و در این مقاله توضیح و تاریخچه ای از بازی و ریاضی در گذشته به میان آمده بود.

برگرفته از سایت روانشناسی

هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين

در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.

هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.

 

 

                                 

 

هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.

در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

 

منبع : روزنامه شرق

پارادوکس

فايده پارادوکسها
۱)ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛
۲)تعميق بينش؛
۳)تعميم شيوه هاي استدلال؛
۴)افزايش دقت؛
۵)وضع قوانين زبان شناختي جديد.

بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم!درمنطق پيراسازگار (paraconsistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.

پارادوکس روز تولد
اگر ۲۳ نفر در اين سخنراني شرکت کرده باشند، احتمال اين که حداقل ۲ نفر روز تولدشان يکي باشد حدود ۵۰% است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند اين احتمال حدود ۰۵/۰%  و اگر بيش از ۶۰ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از ۹۹% است.

پاردوكسهاي زنون   Zeno?s Paradoxes
در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند  ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن  Cبرسيم. براي اين كه  ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از  نقطة A حركت كرد.           A---D---C-------B
در مسابقه ? دو? بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد.     A------------T------    

پارادوكس لامپ تامسون (Tompson Lamp Paradox )  
لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن مي‌شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟

پارادوكس دار غيرمنتظره ( Unexpected Hanging Paradox )
به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.

پارادوكس توده ( Sorites Paradox )  
يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي شود.

پارادوكس ريچارد (Jules Richard"s Paradoxesَ)
آيا ? كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد? وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ? و ? قرار دارد كمتر ار صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!

پارادوکس خداوند قادر مطلق
آيا خداوند مي تواند سنگي بسازد که نتواند بلند کند؟

پارادوكس اژدها
چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم ? اژدهاي هفت سر وجود ندارد.?

پارادوكس تخته سياه
تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد ۱، ۲، ۳، جملة ? كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. ? نوشته شده است.
در اين صورت گرچه عدد ۴ روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين ۴ است.

پارادوكس بوچوفسكي ( Buchowski Paradox )
فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل، راست است:
? برادر جوانترم از من مسن تر است?

پارادوكس دروغگو( Liar"s Paradox) يا پارادوكس ائوبوليدس (Eubulides"  Paradox )
مي گويند روزي ائوبوليدس، متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميلاد، گفت: ? چيزي كه آلان مي گويم دروغ است?. اگر گفتة او درست باشد، آنگاه بنا به آنچه گفته است، بايد گفته اش دروغ باشد، واگر گفتة او دروغ باشد، دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است.

پارادوكس دور
اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است:
جملة P اين است: ?q  دروغ است.?
جملة q اين است: ? P راست است. ?
نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي ?راست?،  ? دروغ ? و ? نه راست ـ نه دروغ ? را داشته باشند آنگاه گزارةP   به صورت ? P دروغ يا نه راست ـ نه دروغ است? نمي تواند هيچيك از ارزشهاي ? راست ? ، ? دروغ ? و ? نه راست ? نه دروغ? را به خود بگيرد.

پارادوكس تابلو
اين پارادوكس در ۱۹۱۳ توسط رياضيدان انگليسي جردن (P. E. B. Jourdain) ارائه شد:
تابلوئي داريم كه در يك طرف آن
?جمله پشت اين تابلو راست است.? و در طرف ديگر آن  ?جمله پشت اين تابلو دروغ است.?   نوشته شده است!

پارادوكس سقراط ( Socrates Paradox )
نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است:? چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم ?.

پارادوكس جزيرة وحشي ها
در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا، خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند، به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند، اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند.  روزي شخصي وارد جزيره شد. او را گرفتند و از او پرسيدند? سرنوشت تو چه خواهد بود؟? آن شخص جواب داد ? شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد.? با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ!

پارادوكس آرايشگر ( Barber Paradox) يا پارادوکس راسل (Russell?s Paradox )
در دهكده اي فقط يك آرايشگر وجود دارد. او فقط ريش كساني را مي تراشد كه ريش خود را نمي تراشند. سوال اين است كه ريش خود ريش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اگر او ريش خود را نتراشد، بايد نزد ريش تراش يعني خودش، برود تا ريشش را بتراشد و اگر ريش خود را بتراشد، نبايد توسط ريش تراش يعني خودش، ريشش تراشيده شود.

پارادوكس فهرست ( Catalogue Paradox )
كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند.  آيا فهرست اين كتابدار، نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟

پارادوكس خود نا توصيف ( Heterological Paradox )
خود ناتوصيف، كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة "خود ناتوصيف" خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد.

پارادوكس اسمارانداچ (Smarandache Paradox )
فرض كنيد A يكي از عبارات ممكن، كامل و . . . باشد. در اين صورت ? همه چيز A  است? ايجاب مي كند که ?~A  نيز A  باشد?. مثلاً ‌وقتي مي گوييم ? همه چيز ممكن است? ، نتيجه مي شود كه ? غير ممكن نيز ممكن است? ، يا از ? هيچ چيز كامل نيست ? اين كه ? كامل نيز كامل نيست ? مستفاد مي شود.

پارادوكس كانتور( Cantor"s Paradox )
فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد، پسP(A)=A و لذا ( card(P(A))=card(A از طرفي بنا به قضية کانتور( card(P(A))

پارادوکس نيوکام
فرض کنيد دو جعبه A و B داده شده باشد. سر جعبه A باز و سر جعبه B بسته باشد. A شامل ۱۰۰۰ دلار و B شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه B را انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه A و B را. اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد، پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه ‌‌ B ، ۱۰۰۰۰۰۰د اگر شما فقط جعبه B را انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه A وB  را  انتخاب کنيد.
سوال: اگر شما به انتخاب فقط B تمايل داشته باشيد، مي توانيد  A را نيز انتخاب کنيد؟
منبع : سايت ملاصدرا

برگرفته از سایت گروه ریاضی مشکین شهر