کاربرد سری فرویه

سری فوریه

توسعه نظریه سریهای مثلثاتی در 1822 ،با چاپ کتابی توسط فوریه آغاز شد.تحقیقات چندین ساله وی به گسترش نظریه وسیعی در مورد سریها منجر شدکه امروزه به نام خود وی معروف ،و از اهمیت بسیاری در ریاضیات ،علوم و فن برخوردار است.ایده اساسی این نظریه،معرفی توابع تناوبی یا دوره ای توسط توابع تناوبی(مثلثاتی) خاص است.

سری فوریه برای بررسی حرکات تناوبی در آکوستیک یا صوت شناسی،الکترودینامیک ،اپتیک یا نور شناسی، ترمودینامیک و غیره مورد استفاده قرار گرفته است.

در مهندسی الکتریک مسائلی چون رفتار بسامدی ،عناصر سوئیچینگ ،یا انتقال ضربه ها را میتوان به کمک سری فوریه حل کرد.

پیش بینی جزرومد در دریانوردی دارای اهمیت فراوانی است.از آنجا که اینها پدیده هایی تناوبی هستند از سری فوریه استفاده میشود و در تمام بندرهای مهم،وسائل مکانیکی چون پیش بینی کننده های جزر و مد ساخته میشود.امروزه کمتر شاخه‌ای از فیزیک،ریاضیات، یا صنعت و فن وجود دارد که در آن از سریهای فوریه استفاده نشود.

تعریف

سری توابع که جمله عمومی آن

با ضرایب ثابت و است سری مثلثاتی نامیده میشود. اگر این سری در بازهای از طول همگرا باشد،آنگاه از آنجا که توابع مثلثاتی تناوبی اند، به ازای جمیع مقادیر x همگراست و تابع تناوبی ی را نشان میدهد.

این تابع لزوما پیوسته نیست، و در واقع اغلب بین آنچه که توسط فرمول های مختلف داده شده است گسستگی هایی دارد.
از طرف دیگر،اگر این سری به طور یکنواخت همگرا باشد،آنگاه مجموع آن، ،پیوسته است. در این حالت میتوان ارتباطی بین ضرایب و و تابع مجموع به دست آورد.ضرب سری

در عاملهای کراندار یا که در آنها p عددی صحیح و نامنفی است اختلالی در همگرایی یکنواخت آن به وجود نمی آورد،بنابراین میتوان

و

را با استفاده از انتگرالگیری جمله به جمله سری یا محاسبه کرد
این انتگرالگیری ها شامل انتگرال های روی بازه توابع و و و اند.

+ نوشته شده در جمعه بیست و نهم تیر ۱۳۸۶ ساعت 11:55 توسط نسیبه ماه حیدری |

سری فوریه

سری فوریه

فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده یاشد.

تابع f یک تابع تناوبی با دوره 2L می باشد و ثابتهای بسط فوریه این تابع از روایط زیر بدست می آیند

برای محاسبه این ثوابت از دستور int استفاده می کنیم

R = int(S)
R = int(S,v)
R = int(S,a,b)
R = int(S,v,a,b)

استفاده از این دستور ببسیار ساده است.S عبارتی است که می خواهیم از آن انتگرال بگیریم، v متغیر مستقل است و a,b حدود انتگرال گیری هستند

اولین قدم برای استفاده از این دستور تعریف متغیرهاست

syms w A t n

و بعد از آن محاسبه ثوابت

a0= w/pi*int('A*sin(w*t)','t',0,pi/w)

an=w/pi*int('A*sin(w*t)*cos(n*w*t)','t',0,pi/w)

bn=w/pi*int('A*sin(w*t)*sin(n*w*t)','t',0,pi/w)

قدم بعدی یافتن مقدار ثوابت در n های مختلف است.برای این کار از دستور subs استفاده می کنیم

subs(bn,n,3)

دستور بالا مقدار bn را به ازای n=3 محاسبه می کند

مقدار an را در n=1 مبهم است چون صورت و مخرج an صفر می شود .با استفاده از دستور limit حد این عبارت را در n=1 می توان بدست آورد.

limit(an,n,1,'right')

limit(an,n,1,'left')

حتما می دانید که سری فوریه هر تابع، تقریبی از آن تابع است.هرچه چملات سری بیشتر باشد مقدار سری به مقدار واقعی تابع نزدیک تر است.

یکی از راه های بدست آوردن سری فوریه یک تابع استفاده از دستور fit است.این دستور توانایی محاسبه سری فوریه با حداکثر 8 جمله را دارد.

x=[-pi:.1:pi]';

y=sin(x);

f=fit(x,y,'fourier1')

به جای fourier1 می توان fourier2...fourier8 را قرار داد.

توابع زیر هم نیاز معرفی ندارند/

تابع گاما

Y = gamma(A)

تابع خطا

Y = erf(X)

تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک انتقال انتگرالی است که هر تابع $f (t)$ را به یک تابع دیگر $F (ω)$ منعکس می‌کند. به $F (ω)$ در این صورت تبدیل‌شده فوریه تابع $f (t)$ می‌گویند. حالت خاص انتقال فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع $f (t)$ متناوب باشد، یعنی: $f (t + T) = f (t)$ . حال اگر تابع متناوب نباشد و یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ( $T\to\infty$ )، آنگاه از سری فوریه به راحتی، عبارت زیر به دست می‌آید:

$F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt$

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega$

تبدیل فوریه و همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در پیغام‌رسانی و مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد.

برگرفته از سایت ویکی پدیا و آموزش مطلب

+ نوشته شده در جمعه بیست و نهم تیر ۱۳۸۶ ساعت 11:47 توسط نسیبه ماه حیدری |

نرم افزار سری فوریه.انتگرالگیری عددی.معادلات دیفرانسیل


			Software Name : Fourier series					:نام نرم افزار سری فوریه
			Description :					:توضیحات
			Calculate the Series Calculate the Coefficient plot the Series » characteristics : Several Rule Functions					محاسبه سری فوریه محاسبه ضرایب سری فوریه رسم سری فوریه : خصوصیات « وارد کردن توابع چند ضابطه ای

			Software Name : Numerical Integration					:نام نرم افزار ا نتگرا لگيري عددی
			Include :					:شامل
			Rectangular Rule Trapezoidal Rule MidPoint Rule Simpton Rule Rumberg Rule Gauss Rule					روش مستطیلی روش ذوزنقه ای روش نقطه میانی روش سیمپتون روش رامبرگ روش گاوس


			Software Name : Differential Equations					:نام نرم افزار معادلات دیفرانسیل
			Includ :					:شامل
			Taylor Roung Kutta Adams Bathforth Predictor Corrector					تیلور رانج کوتا آدامس بچفورس تصحیح کننده پیشرو