تاریخچه هندسه

 

واژه هندسه به معنی اندازه است و بنابراین دانش هندسه با اندازه سروکار دارد. مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانه نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می گرفت. این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می برد و لازم می شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت گذاری با کمک پایه ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه ای را در نقطه ای مناسب در زمین فرو می کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می ساخت به یکدیگر متصل می شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی می گشت. با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام طالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.

 

 

 

 

 

 

در هندسه ، یک واقعیت را فرضیه می نامند. طالس دلایل ثبوت برخی از فرضیه ها را کشف کرد و آغازگر هندسه تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال 300 پیش از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعه 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم. خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. 

 

                     

 

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم ، آریاب هاتا ، در سده هفتم ، براهماگوپتا و در سده نهم ، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تساوی

 

 

معلم پای تخته داد می زد

 صورتش از خشم گلگون بود
 و دستانش به زير پوششي از گردپنهان بود
ولي ‌آخر كلاسي ها
لواشك بين خود تقسيم مي كردند
وان يكي در گوشه اي ديگر جوانان را ورق مي زد
براي آنكه بي خود هاي و هو مي كرد و با آن شور بي پايان
تساوي هاي جبري رانشان مي داد
خطي خوانا به روي تخته اي كز ظلمتي تاريك
غمگين بود
تساوي را چنين بنوشت
يك با يك برابر هست
 از ميان جمع شاگردان يكي برخاست
هميشه يك نفر بايد به پا خيزد
به آرامي سخن سر داد
تساوي اشتباهي فاحش و محض است
معلم
مات بر جا ماند
و او پرسيد
گر يك فرد انسان واحد يك بود آيا باز
يك با يك برابر بود
 سكوت مدهوشي بود و سئوالي سخت
معلم خشمگين فرياد زد
آري برابر بود
و او با پوزخندي گفت
اگر يك فرد انسان واحد يك بود
آن كه زور و زر به دامن داشت بالا بود
وانكه قلبي پاك و دستي فاقد زر داشت
پايين بود
اگر يك فرد انسان واحد يك بود
آن كه صورت نقره گون
چون قرص مه مي داشت
بالا بود
وان سيه چرده كه مي ناليد
پايين بود
اگريك فرد انسان واحد يك بود
اين تساوي زير و رو مي شد
حال مي پرسم يك اگر با يك برابر بود
نان و مال مفت خواران
از كجا آماده مي گرديد
يا چه كس ديوار چين ها را بنا مي كرد ؟
يك اگر با يك برابر بود
پس كه پشتش زير بار فقر خم مي شد ؟
 يا كه زير صربت شلاق له مي گشت ؟
يك اگر با يك برابر بود
پس چه كس آزادگان را در قفس مي كرد ؟
معلم ناله آسا گفت
بچه ها در جزوه هاي خويش بنويسيد

یک یا یک برابر نیست

مثلثها

 

 

 

 

                                     

                             

 

 

آنچه دانشمندان را نسبت به دیگران ممتاز میکند " هنر کشف "و "هنرنو آموزی " است.او میتواند عنصرهای تازه ای راببیند ردیف و نوع ترکیب عنصرهای قبلی را تغییر دهد و از ترکیب های تازه ی عنصر های قبلی و یا دیدگاههای تازه ،مرز دانش را گسترش دهد و دایره ی شناخت آدمی را از قانون های طبیعت و جامعه وسعت بخشد.

به طور مثال ما مثلثها را میشناسیم اما آیا می توانیم رابطه ای بین دنیای اطراف خود و مثلث بدست آوریم. شاید در نگاه اول نتوانیم این کار را به خوبی انجام دهیم ما وقتی دقیق میشویم، به این موضوع پی خواهیم برد که بدون مثلثها زندگی بسیار ناراحت کننده خواهد بود. هنگامی که بیدار هستید در حالی که چشمان شما باز است و به چیزی نگاه میکنید سرگرم حل مثلثها هستید.

به نقطه ای که در پایان این جمله میگذاریم نگاه کنید .

به محض اینکه این نقطه را واضح دیدید یک مثلث را حل کرده اید .

اکنون این کار را تجزیه می کنیم.

 

چشم راست و چپ ا به نقطه نگاه میکنند و زاویه ی بین خط اتصال دو چشم و خط اتصال چشم تا نقطه را حساب میکند و فاصله ی بین دو چشم شما نیز در مغز شما ذخیره شده. حال با داشتن دو زاویه و طول

یک ضلع می توان مثلث را حل کرد و محل نقطه را دقیقا مشخص کرد.

 

دو زاویه برای حل یک مثلث کافی نیست. باید دست کم طول یک ضلع را داشته باشید.آیا تاکنون کودک کوچکی را دیده اید که تقلا و سعی می کند که انگشت مادر خود را بگیرد؟ ولی این کار را خوب انجام نمی دهد ، زیرا مدار حافظه ی وی هنوز مهمترین مقدار معلوم یعنی طول خط قاعده را نیندوخته است.

اگر خط قاعده و فقط یک زاویه را داشتید نیز این کافی نبود. می توانیم این را به وسیله ی تجربه ای که قابل توجه بلکه سرگرم کننده است،نشان دهیم.

من و شما روبه روی یکدیگر در دو طرف متقابل یک میز می نشینیم. من از جیب خود یک قلم خودنویس بیرون می آورم. سرپوش آن را باز می کنم و به شما می دهم، سپس من خودنویس را در فاصله ی 60 سانتی متری شما طوری قرار می دهم که سر آن رو به بالا و ته آن روی میز باشد. حالا باید دستتان را روی یک چشم بگذارید به طوریکه با آن چشم نبینید ،با چشم بازتان به قلم خود نویس نگاه کنید و سعی کنید که سرپوش خودنویس را بدون تجسس(کورمالی کردن)روی خودنویس بگذارید،اگرپس از پنج یا شش بار آزمایش بتوانید این کار را انجام دهید ، خوش شانس هستید. اشکال کار در آن است که مغز شما فقط یک زاویه دارد که باید آن را روی قاعده قرار دهد و این کافی نیست. بنابراین مغز شما نی تواند به چشم شما کانون گیری در فاصله ی صحیح را فرمان دهد.

 

 

 

 

 

ارزش مثلثها

طرحبندی خیابانها و دستگاههای بزرگ شاهراهها وتنظیم حق تقدم در جاده هاو راه آهن ها و هر وسیله ی نقلیه یدیگر بستگی به مساحی مثلثها دارد.

سر حدات همه ی کشورها در عالم و مرزهای هر ایالت و ناحیه و شهر و حتی حدود املاک شخصی به وسیله ی مثلثها معین میشود. هر نقشه ای که از کره ی زمین و از دریاهایی که نقشه برداری شده اند به وسیله ی حساب زوایا ومثلثها تهیه میشود. بدون آنها کشتی ها نخواهند توانست دریا نوردی کنند وهواپیماها نخواهند توانست روز و شب در فراز فواصل بزرگ پرواز نمایند. تهیه ی این نقشه ها مستلزم رسم دقیق خطوط عرض و خطوط طول جغرافیایی است و این خطوط به وسیله ی مثلثها مشخص میشوند.

در این عصر فضا ، محاسبه ی مسیر و اوضاع سفینه های فضایی محتاج روشهایی مثلثاتی هستند. توابع زاویه ها در معادلات بیشماری ظاهر میشوند که برای مشخص کردن مؤثرترین نقشه ی ماشین ها و بهترین روش بنا و تزئین ساختمانها و پلها مورد لزوم هستند. این توابع در محاسبه ی منحنی هایی که اساس افزارهای اپتیک هستند به کار می آیند. از شیشه ی عینک و عدسی و دوربین گرفته تا آینه ی 200 اینچی تلسکوپ کوه پالمار، وجود آنها برای کشیدن نقشه ی ماشینها و اسبابهایی که مربوط به هر نوع تابش هستند لازم میباشند. تابش امواج صوت،نور،رادیو،تلوزیون و رادار و رادیو تلسکوپ عظیمی که از اعماق فضای گیتی علائمی دریافت می دارد و آن علائم را با وسایل اپتیک نمیتوان ضبط کرد.

زندگی جدید اگر مثلثات وجود نداشت امکانپذیر نبود. با اهمیت روز افزون علم و فن احتیاج مبرمی به وجود مردان و زنانی هست که علم مثلثات را خوانده باشند و بتوانند منابع آن رابه بهترین وجه برای نمو و بالا بردنسطح زندگانی نوین به کار بندند.

 

                                    

 

 

 

مرضیه کریمی رادپور

learning circle

اجسام چند وجهی

منشور های مستقیم ، منشور های مورب

منشور های متوازی السطوح مستطیلی

هرم عادی

چرخش سه بعدی

استوانه

مخروط

توپ( جسم کروی )

یکی از سخت ترین برش ها در علم هندسه ترسیم سطح یک تصویر سه بعدی است در صفحه و در این برش ما نشان خواهیم داد شما چگونه بسازید این اشکال را و چگونه بکشید آنها را از روبرو که اشکال روی صفحه باشند .

تعریف:چند وجهی یک سه بعدی کران دار است توسط سطوح چند ضلعی که حرکت چند وجهی سطوح آن است ، تقاطع گوشه ها ، و جاهایی که گوشه هایشان به سه یا بیشتر تقسیم شده اند رئوس یک جسم چند وجهی هستند

 منشور قائم ( مستقیم) :دو سطح موازی و دو چند ضلعی در این صفحه و یک راستا که درست منشور قائم را نشان می دهد .

منشور متوازی السطوح یک منشور ساخته شده از دو چند ضلعی موازی و برابر با اشکال متوازی الاضلاع برای وجوه جانبی است  

نکته : در هر سه منشور ارتفاع ها هم اندازه است اگر همه آنها دارند چند ضلعی هم اندازه در حالیکه حجم همه آنها هم اندازه خواهد بود اگر چه شکل ها مشابه نیستند اما مساحت ها مختلف خواهد بود برای اینکه سطوح جانبی آنها شکل های مختلف دارند .

برگرفته از سایت http://math.schoolnet.ir/english/contents/S_Geo/shape1.html

هندسه در فضای سه بعدی

شما ممکن است گمان کنید همه شکل ها تشکیل شده از برش دو مخروط باشند اما نمی تونید حدس بزنید که خط هایی شبیه صلیب در برش دیده می شودن به شکل زیر توجه کنید .

در انتهای این برش شما می توانید بسازید یک تصویر انیمیشن مانند ، برای شکلی که شما در بالا تصور کردید در این روش تدریس شما اول یاد می گیرید چگونه یک نرم افزار بسازید بدون استفاده عملی از راهنما بوسیله تجربه ی تصادفی در این روش اون زمان می گیره و این بهتره که شما اون رو ایجاد کنید زمانی که یاد گرفتید چطور استفاده کنید از این نرم افزار برای ساختن چیز های جدید برای وارد شدن به 3D-Max  انتخاب کنید اسم "Kinitex" را از لیست برنامه هایتان وکلیک کنید آیکون  را شما می توانید چها موقعیت رو ببینید از منظره ( بالا . پائین . جلو و دور نمای سه بعدی ) شما شکل رو در دورنمای سه بعدی بکشید چون امکان دیدن شکل در سطح افق و سه بعدی هست .

۱ ـ  Undo زمانی که شما به طور ناگهانی کاری را اشتباه انجام می دهید شما می تونید از  Undo استفاده کنید برای پاک کردن آن

۲ -Redo زمانیکه شما تصمیم می گیرید بر گردید به عمل قبلی .

۳ - انتخاب کنید & را و حرکت بدهید  را برای تحرک یک شکل یا انجام بعضی عملیات روی آنچه که شما باید انتخاب کنید و خطهای سفید دور آن به نظر می رسه .

۴ - Rotate  اگر شما می خواهید شکل را بچرخانید ابتدا باید این آیکون را انتخاب کنید .

۵ - Restrict to  حرکت می دهد از چپ به راست بوسیله محور X . 

۶ - Restrict to  حرکت می دهد از جلو به عقب بوسیله محور  Y.

۷ - Restrict to  حرکت می دهد از بالا به پائین بوسیله محور Z .

برگرفته از سایت http://math.schoolnet.ir/english/contents/S_Geo/3D-4.html

ساختار مجرد

 یک ساختار مجرد یک دسنه از قواعد، خواص و روابطی است که مستقل از هر شیئ مادی تعریف شده است. ساختارهای مجرد در فلسفه، علم رایانه و ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند. در حقیقت، ریاضیات مدرن در یک مفهوم خیلی عمومی، مطالعه ساختارهای مجرد تعریف شده است( بوسیله گروه Bourbaki: رجوع کنید به مباحثه در آنجا، در ساختار جبری و همچنین ساختار).

یک ساختار مجرد ممکن است با ( شاید با جند درجه تقریب) یک شیئ مادی یا بیشتر نمایش داده شود. اما ساختار مجرد خودش طوری تعریف شده است که وابسته به خواص هیچ کاربرد خاصی نمی باشد.

مثال – قواعد شطرنج

قواعد شطرنج یک ساختار مجرد هستند، زیرا تعریف آنها مستقل از هر صفحه یا دسته یا نماد شطرنج خاصی است. در این ساختار مجرد، شاه برای مثال، بصورت یک قطعه که میتواند یک خانه به هر طرف حرکت نماید (مگر اینکه آن خانه مورد حمله یک دشمن قرار گرفته باشد) تعریف شده است. یک شاه بصورت یک قطعه قد بلند با یک تاج کوچک روی نوک آن تعریف نشده است، زیرا میتوان آنرا با یک حرف "ش"، یک شکل کامپیوتری، یا با قیافه یک فرمانده مشهور جایگزین کرد. زیرا شطرنج یک ساختار مجرد است، در اصل امکان پذیر است که یک بازی شطرنج را کاملا بصورت فکری بازی کرد ( درصورتیکه شما و حریفتان دارای حافظه بسیار قوی باشید!).

بازیهای صفحه ای دیگر مثل مار و پله و منچ مثالهای دیگری از ساختارهای مجرد هستند. بسیاری از ورزشها، به عبارت دیگر، ساختارهای مجرد نیستند زیرا قواعد آنها به خواص فیزیکی پرتاب، توپ یا دیگر ابزارهای بازی وابستگی دارند.

یک ساختار مجرد یک ساختار غنی تر از یک عقیده یا یک ایده دارد. یک ساختار مجرد بایستی شامل قوانین دقیقی از رفتار باشد تا بتواند برای تعیین اینکه آیا یک کاربرد موردنظر، عملا در تحقیق اینکه انطباق عملی بر ساختار مجرد دارد یا نه، استفاده شود. بدینسان ما میتوانیم بحث نمائیم که چقدر یک حکومت مشخص شایسته مفهوم دموکراسی است، ولی جایی برای مباحثه در مورد اینکه آیا یک حرکت ترتیبی در یک بازی شطرنج مجاز است، نمی باشد.

مثالهای دیگر

یک الگوریتم مرتب کردن یک ساختار مجرد است، ولی یک سفارش نه، زیرا به خواص و مقدار اجزاء تشکیل دهنده آن بستگی دارد.

هندسه اقلیدسی یک ساختار مجرد است، ولی تئوری حرکت قاره ای نه، زیرا به زمین شناسی زمین بستگی دارد.

یک صدای موسیقی ساده یک ساختار مجرد است، ولی یک تنظیم آهنگ نه، زیرا به خواص آلات موسیقی بخصوص وابسته است.
یک زبان رسمی یک ساختار مجرد است، ولی یک زبان محلی نه، زیرا بحث و تفسیر درباره قواعد گرامر و دیکته آن باز است.

 

بر گرفته از سایت رشد

برش های تصویری

مقطع دو مخروط زمانی که به طور صاف بریده می شوند از گوشه ی قطری شما سطح مقطع رو شبیه بیضی می بینید

بعضی از دانش آموزان فکر می کنند نوک مخروط باریک و تنگ است و کف آن گشاد بنابر این وقتی ما آن را از گوشه می بریم آن ممکن نیست بیضی شکل شود اما با امتحان آنها مطمئن شدند که سطح برش کاملا بیضی شکل است

اگر شما دو مخروط را از زاویه ارتفاع ببرید فکر می کنید چه اتفاقی بیفتد ؟

هزلولی ها و خط های صلیبی هستند دو نوع از این برش

نگاه اجمالی به علم ریاضی

 

دید کلی
پرسشی که بارها از سوی دانش آموزان ، دانشجویان و حتی دبیران مطرح می‌شود این است که چرا ریاضیات می‌خوانیم؟ یا چرا ریاضیات تدریس می‌شود؟ چرا باید ریاضیات مورد توجه قرار گیرد؟ یا اصولا ریاضیات چه نقشی در زندگی می‌تواند داشته باشد و سوالاتی از این قبیل. آنچه مسلم است این است که نمی‌توان به این پرسشها در قالب یک یا چند جمله پاسخ قانع کننده‌ای داد. به طور کلی در جدال انسان برای رسیدن به اهداف خود ریاضیات نقش اساسی داشته و تا حد اعجاب آوری در پیشرفت و رشد تکنولوژی و مسایل پزشکی و ارتباطات نقش چشمگیر و قابل ملاحظه و انکار ناپذیر دارد
.
ویژگی های ریاضیات

* اولین ویژگی ریاضیات دقت است، کم و زیاد شدن یک صفر ، مثبت یا منفی در نظر گرفتن یک رقم ، پس و پیش کردن یک نماد ، اضافه کردن یک کلمه و … هر کدام می‌تواند مساله‌ای را به جوابی دیگر رساند یا صورت مساله را عوض کند.

* دومین ویژگی ریاضیات ، خلاصه گویی و استفاده از مطالب ، قضیه‌ها و مساله‌های اثبات شده به عنوان ابزارهایی برای حل مساله‌های جدید است و این که همواره به دنبال داده‌های صحیح و کوتاه باشیم.

جنبه‌های مختلف ریاضیات
ریاضیات به عنوان یک ابزار
یعنی وسیله‌ای برای توصیف و تجزیه و تحلیل و انتقال آن ، به دلیل گنگ و نامفهوم بودن زبانهای معمولی.
ریاضیات به عنوان یک موضوع
ریاضیات علاقه می‌آفریند و لذت می‌بخشد و ارزش مطالعه محض و مستقل از کاربرد دارد که خود جنبه آزادی اندیشه را از قید زمان و مکان می‌طلبد چرا که در بسیاری از موارد مطالعات در خارج از فضای سه بعدی و در فضاهای آفریده شده توسط ریاضیدان صورت می‌گیرد. بطوری که بیشتر مفاهیم مهم ریاضی به واسطه همین ، امروز کاربرد زیادی پیدا کرده‌اند. همان طور که در ساختن بدن سالم نیاز به ورزش مکرر فیزیکی داریم.
ریاضیات به عنوان یک علم
یعنی از دیدگاه کاربردی که نقش و ارزش آن در جوامع کنونی بشری روز به روز مورد توجه قرار گرفته است و کاملا محسوس می‌باشد.
ریاضیات به عنوان یک مساله تربیتی
برای پرورش ونظم فکری و بالابردن قدرت اندیشه و استدلال منطقی همچنین رشد قوه خلاقیت ذهنی که شاید این جنبه از ریاضیات مهمترین هدف از تدریس آن می‌باشد.
ریاضیات از دیدگاه دانشمندان

* گالیله می‌گوید: اصول ریاضیات الفبای زبانی است که خداوند جهان را با آن نوشته است و بدون کمک آنها درک یک کلمه هم غیر ممکن است. و انسان بیهوده در راهروهای تاریک و پر پیچ و خم سرگردان است.

* لئوناردو داوینچی معتقد است که: هیچ دانشی را نمی‌توان دانش واقعی دانست مگر این که به صورت ریاضیات متجلی شود.

* واجر بیکن معتقد است که: ریاضیات دروازه علوم است غفلت از ریاضیات به همه دانشها لطمه می‌زند زیرا کسی که علوم دیگر را نمی‌تواند درک کند و اشیای دیگر جهان را نمی‌شناسد. و بدتر از آن کسانی که نادانند نمی‌توانند جهالت خود را درک کنند.

* کانت می‌گوید: در هر بخش از علوم فیزیکی به معنای عام آن قدر از علم واقعی است که در آن ریاضیات وجود دارد یعنی علوم منهای ریاضیات یعنی هیچ.

فرجام سخن
بنابراین اگرفردی به هر دلیل در رسیدن به هدف از ریاضی کمک نگیرد، وظیفه خود را انجام نداده است و همچنین اگر شخصی توانایی را در این مورد بدست نیاورد نه تنها توفیقی به دست نمی‌آورد، بلکه در زندگی اجتماعی نیز از طریق راههای سالم پیروزی چشمگیر نخواهد داشت. می‌توان نتیجه گرفت که ریاضیات غذای مغز است. که باید بطور حساب شده به مغز برسد. همچنین ریاضیات مانند غلتکی است که جاده ناهموار و سنگلاخ علم را صاف و ناهموار می‌سازد تا دیگر علوم در گذر زمان سرعت بیشتری بگیرند.

 

 

 

ریاضیات در زندگی و عمل

ریاضیات و زندگی
علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاج ودر آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.
سیلوستر می‌گوید:”ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست.”
علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :” یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است.”
در حالت کلی ریاضیات ، راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.

آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.

ریاضیات و علوم
اکثر ریاضیدانان بگونه ای  طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسائل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.
بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.
و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.
پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.
رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسئله را برای ما روشن تر میکند.

کارل فردریک گوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) روی نقشه های جغرافیایی کار می کرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.
می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.
جیمس کلارک ماکسول (۱۸۳۱-۱۸۷۹) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و ۲۵ سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (۱۸۵۶-۱۹۴۰) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال ۱۸۷۲ و سپس هلمهولتس (۱۸۲۱-۱۸۹۲) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۱ کرده بودند.
مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک “کوانتایی” معروف است.
بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.
آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟
در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دائمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.
موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

زیبایی شناسی در ریاضیات

مقدمه
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می‌پندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بی‌احساس و بی‌ذوق می‌پندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته‌اش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر می‌شوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بی‌ذوقی ، بی‌احساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.

در واقع انسان ، مجموعه‌ای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی‌توان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بی‌فرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه‌ها و شکلها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است.

                                                                                 

            
تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر
دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (۱۴۷۲ - ۱۴۰۴) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال ۱۴۳۵ میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آورند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لئوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تائید شد.
چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟
طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.
ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی
طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و … می‌کند.
زیبایی ریاضیات در کجاست؟
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارائه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.
زیبایی مسائل ریاضی
برای بسیاری از مسائل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسائل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید… زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند… عجب!… پس اینطور!… چه زیبا!… و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش  آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.

هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.
رابطه زیباشناسی ریاضی
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی

این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه می‌گردد.

بر گرفته از سایت دانشجویان

تقریب = کاهش پیشرفت بشری

تقریب = کاهش پیشرفت بشری

 تقریب یا همان Approximation در اصطلاح ریاضی به عنوان تفاضل میان مقدار واقعی و مقدار تئوری یک پارامتر عددی است. از این کلمه در فیزیک نیز با لفظ خطا یاد می شود. به طور کلی تعریفی که برای خطا می توان ذکر کرد این است: ((خطا عامل تفاوت میان بعد عمل و تئوری یک نظریه است.)) برای مثال در یک جامعه ی آماری معلوم شد واریانس داده ها برابر با 18 بوده است. شخصی که واریانس داده ها را محاسبه می کند هر عددی که دارای اعشار است، از محاسبه ی ارقام اعشاری آن صرف نظر می کند. پس از مشخص کردن واریانس داده ها ملاحظه شد که این مقدار برابر با 48/17 اندازه گیری شد. خطای اندازه گیری  واریانس داده ها حساب کنید. چون مقدار واقعی واریانس اعداد مشخص بوده است پس با این حساب خطای اندازه گیری برابر خواهد بود با:                                                                   

52/0 = 48/17- 18= مقدار با تقریب – مقدار واقعی= خطای اندازه گیری

شاید این خطا از لحاظ بعد تئوری اهمیت آنچنانی نداشته باشد. اما در عمل آنچه تفاوت میان دو شرکت بزرگ اینتل و AMD را مشخص می سازد، همین خطای بسیار ضعیف است. حتی پیشرفت تکنولوژی خود را مدیون کاهش این خطا یا افزایش دقت می داند. صفر شدن این خطا یا در بعد علمی صفر شدن نسبت خطا به واقعیت (در بحث ریاضی ضفر شدن نسبت خطا مطرح است) یا دقت 100% برای هر چیزی غیر ممکن است. چرا که توابع خطایی از نوع لگاریتمی هستند و این بدان معناست که هر چه با اعداد ارقام بزرگتری سرکار داریم تصاویر چنین توابعی روند افزایشی دارند. اما دارای مجانب افقی هستند. پس به عبارت ریاضی داریم:

100% > Lim (x->infinity) f(x) = z , (Approximation)^(-1) * 100  

 چیزی که اینیشتین از آن با لفظ ایده آل یاد کرده است. به قول او (( در این دنیای بزرگ و در عالم هستی هیچ چیز ایده آلی یافت نمی شود.)) تنها بشر می تواند نسبت این خطا را به سمت صفر میل دهد، اما با وجود این آیا این خطا صفر می شود یا نه چیزی است که هم اکنون با عرصه ی ورود منطق فازی جای بسی تامل و تفکر دارد.

بر گرفته از وب ریاضیات زیبا